TERUG NAAR ARTIKEL

GEHEIMZINNIGE GRAANCIRKELS

Verborgen Wiskunde

Door: Eltjo H. Haselhoff

Voorwoord ufowijzer
Omdat ik een groot bewonderaar ben van Eltjo Haselhoff en van zijn wetenschappelijke bijdrage aan het graancirkelfenomeen, heb ik hem om toestemming gevraagd om een drietal uiteenzettingen uit zijn boek ‘GEHEIMZINNIGE GRAANCIRKELS, Wetenschappelijk Onderzoek en Mysterieuze Verhalen’ (2002) over te mogen nemen. Ik heb daar inderdaad zijn toestemming voor gekregen en ook van de uitgeverij Het Spectrum B.V. Waarvoor mijn oprechte dank.

Vooral de drie stukken in zijn boek: 1. Verborgen Wiskunde. 2. De Ringen Van Melick. 3. Constructielijnen, die handelen over de verborgen wiskunde en de mysterieuze constructielijnen in de authentieke graancirkels, spreken mij erg aan. Probeer je tijdens het lezen werkelijk in te denken hoe ingewikkeld dergelijke verborgen wiskunde is, om het allemaal te laten passen, het lijkt op het eerste oog simpel kinderspel, je trekt wat lijntjes, cirkels en driehoeken, maar er komt heel wat voor kijken. Als dit een opdracht in een IQ test zou zijn, zouden heel wat mensen er niet veel van terechtbrengen en daar zou je je niet eens voor hoeven te schamen.

Ik zet de drie stukken apart op ufowijzer en hieronder vind je het eerste stuk:

VERBORGEN WISKUNDE

In 1996, in het Amerikaanse tijdschrift Science News (Vol. 150, 12 oktober 1996), publiceerde dr. Gerald S. Hawkins een merkwaardige gebeurtenis. Zijn eerdere ontdekking van de relatie tussen graancirkelafmetingen en witte pianotoetsen had hij kunnen koppelen aan een viertal wiskundige stellingen. Deze vier stellingen konden grafisch weergegeven worden, met behulp van rechte lijnen, een gelijkzijdige driehoek, een vierkant en een regelmatige zeshoek, die bepaalde delen van graancirkeldiagrammen verbonden (zie figuur 3-2).

Fig. 3-2 De vier stellingen van Hawkins.

Stelling I beschreef de onderlinge ligging van de cirkels, zoals die vaak in de velden gevonden was, terwijl stellingen II, III en IV beschreven hoe groot de ringen waren die vaak om de graancirkels werden aangetroffen. Hawkins had namelijk ontdekt dat, als er een ring met een cirkel eromheen werd gevonden, er tussen de cirkel en de ring vaak precies en driehoek (stelling II), een vierkant (stelling III) of een regelmatige vijfhoek (stelling IV) paste.

Uitgaande van deze vier stellingen had Hawkins ook nog een vijfde stelling gemaakt. Deze vijfde stelling was eigenlijk een combinatie van de andere vier, op zo’n manier dat stelling I tot en met IV eigenlijk speciale gevallen waren van deze nieuwe, vijfde stelling. Hawkins publiceerde zijn vijfde stelling niet. In plaats daarvan hield hij hem geheim, en daagde de lezers van de tijdschriften Science News en The Mathematics Teacher uit om deze vijfde stelling af te leiden aan de hand van de vier andere. Er kwamen vele inzendingen binnen, maar niet één was er goed. Totdat er in de zomer van 1996 opeens een graancirkel ontstond die een exacte grafische voorstelling bleek te zijn van Hawkins’ ‘ontbrekende’ vijfde stelling. Wat de lezers van de wiskundetijdschriften niet voor elkaar kregen, konden de onbekende cirkelmakers kennelijk wel.

Zelfs nu graancirkels zich hebben ontwikkeld tot enorm ingewikkelde figuren blijkt dat de interne afmetingen nog steeds heel vaak aan de stellingen van Hawkins voldoen. Uiteraard heeft dat vandaag misschien minder te betekenen dan in de vroege jaren, omdat Hawkins zijn bevindingen inmiddels gepubliceerd heeft, en vele andere schrijvers (onder wie ikzelf) zijn resultaten verder verspreid hebben. Derhalve kan iedereen met een beetje basiskennis van geometrie een ontwerp maken (en uitvoeren) dat gebaseerd is op de stellingen van Hawkins.

Het blijft natuurlijk wel de vraag hoeveel mensen zich al dat extra werk op de hals willen halen als ze besluiten voor de grap een graancirkel te maken. Dit laatste geldt met name, omdat het nog maar de vraag is of iemand het geavanceerde ontwerp op zou merken, omdat de stellingen van Hawkins vaak diep in de diagrammen verborgen blijken te zitten. Een mooi voorbeeld daarvan is het pictogram uit 1998 dat verscheen in een tarweveld in Oud-Beijerland.

Fig. 3-3 Oud-Beijerland, 1998.

Na een eerste analyse van een nauwkeurig diagram dat opgemeten was door mijn graancirkelcollega’s Nancy Polet en Roland Beljon ontdekte ik dat ook dit pictogram niet zomaar een willekeurige verzameling cirkels en ringen was, ofschoon je dat op het eerste gezicht misschien wel zou denken (zie figuur 3-3). Het bleek echter dat het pictogram het opzienbarend grote aantal van zes drievoudige raaklijnen had. Daarmee bedoelen we rechte lijnen die ieder steeds op drie verschillende plaatsen precies tegen een cirkelvormige binnen- of buitenrand aanliggen (zie figuur 3-4).

Fig. 3-4 Zes drievoudige raaklijnen in de Oud-Beijerland formatie.

Dit pictogram leek haast wel een extra ingewikkelde versie van de eerste stelling van Hawkins, waarin drie van dergelijke raaklijnen voorkwamen. Kennelijk waren zowel de afmetingen van alle cirkels en ringen, maar ook hun onderlinge plaatsen van tevoren heel precies bepaald. Maar niet alleen de onderlinge plaatsing van de cirkels en ringen, ook de ligging van het hele pictogram in het veld was niet willekeurig. Dit bleek toen ik zag dat de stellingen van Hawkins ook toegepast konden worden om het pictogram te verbinden met de tractorsporen in het veld, zoals te zien is in figuur 3-5.

Fig. 3-5 De stellingen van Hawkins, gevonden in de ligging van het pictogram ten aanzien van de tractorsporen.

Om de grote cirkel in het midden is een gelijkzijdige driehoek getekend, die precies om de cirkel past. Om deze driehoek is weer een cirkel getekend die alle drie de hoeken van die driehoek snijdt. Deze laatste cirkel raakt precies de bovenste tractorsporen in het diagram. Precies hetzelfde is het geval met de binnenrand van de ring links in het pictogram. Zoals te zien is, raakt ook hier de cirkel om een omsluitende driehoek keurig netjes dezelfde tractorsporen. En hier kan het spelletje zelfs nog eens herhaald worden: als je een nieuwe gelijkzijdige driehoek tekent om de buitenste cirkel, en daar weer een cirkel omheen trekt, dan raakt die laatste cirkel precies de tractorsporen aan de onderkant van het pictogram! Verder blijkt dat ook de cirkel beneden precies in een driehoek past, waaromheen weer een cirkel kan worden getrokken die ook weer aan deze onderste tractorsporen raakt.

Het zijn allemaal voorbeelden van de eerste stelling van Hawkins, die op een ongelooflijk slimme manier in het pictogram verstopt zitten. De kleine cirkel rechts, met de ring eromheen, kan niet op dezelfde manier met de tractorsporen verbonden worden. Toch blijkt dan weer dat, na het tekenen van een gelijkzijdige driehoek en een cirkel, deze laatste precies de rand van de grote centrale cirkel in het pictogram raakt. En precis hetzelfde geldt overigens ook voor de buitenrand van de ring links boven. (Zie figuur 3-5)

Zou dit nou allemaal maar gewoon toeval zijn? Absoluut niet. Zeker als je bedenkt dat dit soort meetkundige wetmatigheden inmiddels al duizenden keren zijn vastgesteld in graancirkels over de gehele wereld. Bovendien is het avontuur nog niet eens afgelopen. Want tot nu toe is aangetoond dat de plaatsing van de cirkels en ringen van dit pictogram ten opzichte van elkaar heel precies gekozen is, zodat er zes raaklijnen kunnen worden getrokken. Vervolgens bleek ook dat de plaatsing van het pictogram ten opzichte van de tractorsporen, en ook de totale grootte van het pictogram niet willekeurig. En ongelooflijk als het schijnt, bleek dat er zelfs nog meer stellingen van Hawkins verstopt zaten in het pictogram zoals te zien is in figuur 3-6.

Fig. 3-6 De stellingen van Hawkins, gevonden in de afzonderlijke elementen van de formatie.

In het midden van de grote cirkel is een kopie getekend van de kleine cirkel onder aan het pictogram. De twee cirkels omsluiten precies een gelijkzijdige driehoek: tweede stelling van Hawkins. Tussen de binnen- en buitenrand van de ring past precies een vierkant (derde stelling van Hawkins), en precies hetzelfde geldt voor de ring om de kleine cirkel rechts in het pictogram. Ik ontdekte hier overigens ook nog een nieuwe stelling. De cirkel en de ring sluiten namelijk een gelijkbenige driehoek in (een driehoek met twee even lange zijden), zodanig dat de cirkel in het midden precies in de driekoek past, terwijl de top van de driehoek precies de buitenrand van de ring raakt, en de twee hoeken beneden precies de binnenrand ervan raken, zoals te zien is in figuur 3-7

Fig. 3-7 Een variant van de tweede stelling van Hawkins? De cirkel in het midden en de randen van de ring sluiten precies een gelijkbenige driehoek in. Dat is maar op één enkele manier mogelijk, omdat de randen van de ring ook een vierkant insluiten. De tophoek van de driehoek kan berekend worden en bedraagt iets minder dan 46 graden.

Misschien lijkt dat niet zo bijzonder op het eerste gezicht. Maar het lijkt wel een speciaal geval van de tweede stelling van Hawkins, waar de gelijkzijdige driehoek vervangen is door een gelijkbenige driehoek met een extra ring erbij. Omdat de binnen- en buitenrand van de ring niet meer veranderd kunnen worden, past de gelijkbenige driehoek maar op één manier. Daarmee is de tophoek van de driehoek ook bepaald. Hij bedraagt iets minder dan 46 graden.

Ik kan begrijpen dat menigeen inmiddels op het punt staat dit boek dicht te klappen na de overdosis meetkunde van de laatste pagina’s. Het zal in dat geval duidelijk zijn dat er in dit pictogram, zo simpel als het op het eerste gezicht leek, een enorme hoeveelheid uiterst complexe wiskunde verstopt zat. Het ontwerp van het Oud-Beijerland pictogram volgde uiterst nauwkeurig en vele malen de stellingen van Hawkins, en was daardoor verschrikkelijk ingewikkeld.

Dat maakt ten minste één ding duidelijk: het pictogram was zeker niet gemaakt door de twee jongens die tegen een lokale krant vertelden dat ze besloten hadden om voor de grap een graancirkel te maken toen ze langs een tarweveld liepen. Dit verhaal is volstrekt onwaarschijnlijk, vanwege de enorme complexiteit van het ontwerp. De formatie had nooit gemaakt kunnen worden zonder een langdurige voorbereiding en een uiterst nauwkeurige manier van werken.

Maar wat betekent het verder? Zijn dergelijke ontdekkingen in de geometrie het gevolg van de manier waarop de cirkelmakers werken? Is het een gevolg van hun technische beperkingen tijdens het maken van de formaties? Of gaat het hier om het werk van een intelligentie die niet direct met ons in contact kan komen, en daarom een universele taal gebruikt om hun aanwezigheid aan te tonen? Is dit allemaal een soort code die we moeten proberen te ontcijferen? Wie zal het zeggen? Eén ding weten we in elk geval zeker: toeval kan absoluut uitgesloten worden.

Eltjo Haselhoff op de erepagina van ufowijzer

Bert Janssen heeft ook een uitgebreide studie naar de geometrie in graancirkels gedaan. Zie:
http://www.bertjanssen.nl/cropcircles.html klik vervolgens in de blauwe balk, onder Bert's naam, op: 'Geometry' of op 'Reconstructions'. Deze beide links hebben ook nog een aantal sublinks.

Zeer uitgebreide uitleg over Hawkins stellingen: http://www.lovely.clara.net/hawkins.html

Science News Online: http://www.sciencenews.org/pages/sn_arch/10_12_96/note1.htm

Nog een artikel: http://www.sciencenews.org/articles/20030628/mathtrek.asp

TERUG NAAR ARTIKEL